द्रव्यमान केन्द्र ( Centre of Mass in Hindi ) कैसे ज्ञात करते है ?

स्वागत है आपका , इस पोस्ट में द्रव्यमान केन्द्र ( Centre of Mass ) से संबंधित सभी महत्वपूर्ण जानकारी दी गई है।

द्रव्यमान केंद्र किसे कहते हैं परिभाषा

किसी निकाय या पिण्ड का द्रव्यमान केन्द्र वह बिन्दु होता है जिस पर निकाय या पिण्ड का सम्पूर्ण द्रव्यमान केन्द्रित माना जा सकता है

किसी निकाय का द्रव्यमान केन्द्र ( Centre of Mass ) कैसे ज्ञात करते है ? से संबंधित सभी महत्वपूर्ण जानकारी दी गई है।

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1 द्रव्यमान केन्द्र (Centre of Mass)

1.1 द्रव्यमान केन्द्र किसे कहते है ?

1.2 किसी निकाय का द्रव्यमान केन्द्र ( Centre of Mass ) कैसे ज्ञात करते है ?

2 कुछ सममित आकार के पिंडों का द्रव्यमान केंद्र

द्रव्यमान केन्द्र (Centre of Mass)

किसी वस्तु अथवा निकाय का वह बिन्दु, जहां वस्तु अथवा निकाय का सम्पूर्ण द्रव्यमान केन्द्रित माना जाता है व इस पर सभी बाह्या बल आरोपित माने जाते हैं, द्रव्यमान केन्द्र कहलाता है। तथा बाह्य बलों को इस बिन्दु पर लगाने पर निकाय की गति अपरिवर्तित रहती है ।

द्रव्यमान केन्द्र किसे कहते है ?

किसी वस्तु अथवा निकाय का वह बिन्दु, जहां वस्तु अथवा निकाय का सम्पूर्ण द्रव्यमान केन्द्रित माना जाता है द्रव्यमान केन्द्र कहलाता है।

द्रव्यमान केन्द्र की गति सम्पूर्ण निकाय की स्थानान्तरीय गति को प्रदर्शित करती है ।

किसी निकाय का द्रव्यमान केन्द्र ( Centre of Mass ) कैसे ज्ञात करते है ?

यदि एक निकाय दो द्रव्यमानों m₁ व $m_{2}$ से बना है जिनके स्थिति सदिश r₁ व r₂हैं तो निकाय के द्रव्यमान केन्द्र का स्थिति सदिश r_CM

r_{CM}=\frac{m_{1} {r}_{1}+m_{2}{r}_{2}}{m_{1}+m_{2}}

द्रव्यमान केन्द्र दोनों कणों को मिलाने वाली रेखा पर स्थित होगा

(i) यदि कणों के द्रव्यमान समान हों अर्थति $m_{1}=m_{2}$ , तब द्रव्यमान केन्द्र का

स्थिति सदिश, ${r}=\frac{{r}_{1}+{r}_{2}}{2}$

(ii) यदि दोनों कणों के निर्देशांक $\left(x_{1}, y_{1}\right)$ व $\left(x_{2}, y_{2}\right)$ हों, तो द्रव्यमान केन्द्र के निदेंशांक $\left(x_{\mathrm{CM}}, y_{\mathrm{CM}}\right)$

x_{\mathrm{CM}}=\frac{m_{1} x_{1}+m_{2} x_{2}}{m_{1}+m_{2}}

तथा

y_{\mathrm{CM}}=\frac{m_{1} y_{1}+m_{2} y_{2}}{m_{1}+m_{2}}

यदि कोई निकाय n कणों से मिलकर बना हो तथा जिनके द्रव्यमान क्रमश:

$m_{1}, m_{2}, m_{3} \ldots m_{n}$ हो एवं इनके स्थिति सदिश क्रमश: $x_{1}, x_{2}, x_{3} \ldots x_{4}$ हों, तब निकाय के द्रव्यमान केन्द्र का स्थिति सदिश

{r}_{CM}=\frac {m_{1}{r}_{1}+m_{2}{r}_{2}+m_{3}{r}_{3}+\ldots m_{n} {r}_{n}}{m_{1}+m_{2}+m_{3}+\ldots m_{n}}

अत: किसी $n$ कण के निकाय का द्रव्यमान केन्द्र, समस्त कणों के स्थिति सदिशों का भारित माध्य होता है।

{r}_{CM}=\frac{\sum_{i=1}^n m_{i} r_{1}}{\sum_{i=1}^{n} m_{i}}

यदि द्रव्यमान का वितरण सतत् हो, तो द्रव्यमान केन्द्र निम्न सून्न से ज्ञात किया जाता है

r_{\mathrm{CM}}=\frac{\int d m \mathbf{r}}{\int d m}

यदि निकाय के कण जिनके द्रव्यमान क्रमश: $m_{1}, m_{2}, m_{3} \ldots$

हैं, क्रमशः $u_{1}, v_{2}, v_{3} \ldots$ वेग से गतिमान हो, तो

द्रव्यमान केन्द्र का वेग, $\mu_{\mathrm{CM}}=\frac{\Sigma m_{i} \mu_{i}}{\Sigma m_{i}}$

यदि निकाय के कण जिनके द्रव्यमान क्रमश: $m_{1}, m_{2}, m_{3} \ldots$ हैं, क्रमश: $a_{1}, a_{2}, a_{3} \ldots$ त्वरण से गतिमान हों, तो द्रव्यमान केन्द्र का त्वरण

a_{\mathrm{CM}}=\frac{\Sigma m_{i} \mathbf{a}{i}}{\Sigma m{i}}

यह द्रव्यमान केन्द्र के लिए गति की समीकरण

न्यूटन के गति के द्वितीय नियम से

{F}_{CM}={F}_{1}+{F}_{2}+\ldots+\mathrm{F}_{n}

या

{F}_{CM}=\sum_{i=1}^n {F}_{i}

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कुछ सममित आकार के पिंडों का द्रव्यमान केंद्र

एकसमान सीधी छड़ ( Uniform straight rod )

छड़ के मध्य बिंदु पर

एकसमान अर्द्धवृत्तीय तार ( Uniform – semicircular wire )

CM= ( 0,\frac{2R}{\pi})

एकसमान वृत्तीय वलय ( Uniform circular ring )

वलय के केंद्र पर

एकसमान अर्द्धवृत्तीय प्लेट ( Uniform semi – circular plate )

CM= ( 0,\frac{4R}{3\pi})

आयताकार समतल पटल ( Rectangular plane lamina )
विकर्ण के कटान बिंदु पर

द्रव्यमान केन्द्र ( Centre of Mass )
पतली त्रिकोणीय प्लेट ( Thin triangular plate )

माध्यिकाओं के कटान बिंदु पर

वृत्ताकार ठोस शंकु ( Circular solid cone )

आधार से अक्ष के अनुदिश h/4 दूरी पर

अर्द्धगोलाकार गोलीय कोश ( Hemispherical shell )

केंद्र से ऊर्ध्वाधर ऊपर की और R /2 ऊंचाई पर

अर्द्धगोलाकार ठोस गोला ( Solid hemisphere )

केंद्र से ऊर्ध्वाधर ऊपर की और 3R /8 ऊंचाई पर

उदाहरण . चित्र में दिखाई गई समान मोटाई की R त्रिज्या की वृत्ताकार चकती जिसका द्रव्यमान M है से R/2 त्रिज्या की वृत्ताकार चकती निकाल देने पर,उसके द्रव्यमान केन्द्र की स्थिति ज्ञात कीजिए।

हल. माना कि चकती की मोटाई t व उसके पदार्थ का घनत्व $\rho$ है।

वृत्ताकार चकती का द्रव्यमान $=\pi R^{2} t \rho=M$

द्रव्यमान केन्द्र की स्थिति

निकाली गई वृत्ताकार चकती का द्रव्यमान,

M_{2}=\pi\left(\frac{R}{2}\right)^{2} t \rho=\frac{M}{4}

अत: शेष बची चकती का द्रव्यमान,

M_{1}=M-\frac{M}{4}=\frac{3 M}{4}

बिन्दु O को मूल बिन्दु लेने पर, द्रव्यमान केन्द्र सममित रेखा x-अक्ष पर होगा।

हम मान सकते हैं कि हटाई गई चकती $\left(M_{2}\right)$ तथा शेष चकती $\left(M_{1}\right)$ का द्रव्यमान केन्द्र O पर स्थित है। अत:

x_{\mathrm{CM}} =\frac{M_{1} x_{1}+M_{2} x_{2}}{\left(M_{1}+M_{2}\right)}

0 =\frac{\frac{3 M}{4} x_{1}+\frac{M}{4} \times \frac{R}{2}}{\left(\frac{3 M}{4}+\frac{M}{4}\right)}

(हटाई गई चकती का द्रव्यमान केन्द्र O से $\frac{R}{2}$ दूरी पर है।)

x_{1}=-\frac{R}{6}

अत: शेष चकती का द्रव्यमान x अक्ष पर O से बाई ओर $\frac{R}{6}$ दूरी पर स्थित है।

द्रव्यमान केन्द्र (Centre of Mass)

द्रव्यमान केन्द्र किसे कहते है ?

किसी निकाय का द्रव्यमान केन्द्र ( Centre of Mass ) कैसे ज्ञात करते है ?

कुछ सममित आकार के पिंडों का द्रव्यमान केंद्र

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