प्रायिकता [ probability in Hindi ] probability questions in Hindi

स्वागत है 🙏आपका , इस पोस्ट में  प्रायिकता [ probability in Hindi ] probability questions in Hindi से संबंधित सभी महत्वपूर्ण जानकारी दी गई है।  प्रायिकता का सूत्र क्या है ? formula of probability इन सभी का जवाब आपको इस आर्टिकल में मिल जायेगा साथ में probability questions in Hindi भी दिए गए है   

इस आर्टिकल में प्रायिकता [ probability in Hindi ] से सम्बंधित परिभाषाये , प्रायिकता के कुछ महत्वपूर्ण बिंदु ,  प्रायिकता के कुछ महत्वपूर्ण सूत्र ( formulas of probability in Hindi ) प्रायिकता  के कुछ महत्वपूर्ण अवधारणाएं और नियम (Concepts and Rules )  

जैसे –एक घटना की प्रायिकता ,सप्रतिबन्ध प्रायिकता (Conditional Probability) ,सम्पूर्ण प्रायिकता का नियम (Law of Total Probability)  कुछ प्रायिकता  के महत्वपूर्ण प्रशन ( easy level )  को समावेश किया है, साथ में सभी महत्वपूर्ण सूत्र को अच्छे से लिखा गया है।

फिर यदि कोई गलती है तो नीचे कमेंट में जरूर बताये ।  probability meaning in Hindi, Prayikta in Hindi प्रायिकता किसे कहते है ? 

प्रायिकता क्या है-probability meaning in Hindi

 प्रायिकता किसे कहते है ? 

किसी भी घटना के होने की संभावना को प्रायिकता या संभावना कहा जाता है।

प्रायिकता गणित की एक शाखा है जो एक यादृच्छिक घटना की घटना से संबंधित है। 

उदाहरण के लिए, जब एक सिक्का हवा में उछाला जाता है, तो संभावित परिणाम हेड और टेल होते हैं।

यदि यादृच्छिक प्रयोग से सम्बन्धित n घटनाओं में से m घटनाएँ, घटना E के अनुकूल हैं, तब घटना E के घटित होने की प्रायिकता को P(E) से निरूपित करते हैं तथा

P(E)=\frac{m}{n}

0 \leq m \leq n \Rightarrow 0 \leq P(E) \leq 1

घटना E के घटित ना होने की प्रायिकता को P(\bar{E}) से निरूपित करते हैं, तब

P(\bar{E})=\frac{n-m}{n}=1-P(E)

माना किसी यादृच्छक प्रयोग में प्रतिदर्श समष्टि S तशा घटना E \subseteq S है, तब घटना E के घटित होने की प्रायिकता 

P(E)=\frac{n(E)}{n(S)}

प्रायिकता के विभिन्न पदों की परिभाषायें

प्रतिदर्श समष्टि ( Sample space ) : किसी प्रयोग ( यदृच्छया परीक्षण ) के सभी सम्भावित परिणामों के समुच्चय को प्रतिदर्श समष्टि कहते हैं । इसे सामान्यतया द्वारा व्यक्त करते हैं तथा प्रयोग का प्रत्येक परिणाम प्रतिदर्श बिन्दु कहलाता है । 
घटना ( Event ) : प्रतिदर्श समष्टि के किसी उपसमुच्चय को घटना कहते हैं ।

घटनाअं के प्रकार (Types of Events)

👉सम्भव तथा असम्भव घटनाएँ 

माना यादृच्छिक प्रयोग से सम्बन्धित प्रतिदर्श समष्टि S है, तब ϕ व S, S के उपसमुच्चय हैं। घटना ϕ असम्भव घटना (impossible event) व घटना S सम्भव (निश्चित) (certain) घटना कहते हैं। ϕ = रिक्त समुच्चय

👉समसम्भावी घटनाएँ 

यदि दी गई घटनाओं में से प्रत्येक घटना के घटित होने की सम्भावन समान हो, तब वे घटनाएँ समसम्भावी घटनाएँ कहलाती हैं।

👉स्वतंत्र तथा परतंत्र घटनाएँ 

यदि दो घटनाओं में से एक घटना के घटित होने का प्रभाव दूसरी घटना के घटित होने पर नहीं पड़ता है, तो वह  स्वतंत्र घटनाएँ कहलाती हैं अन्यथा वे घटनाएँ परतंत्र घटनाएँ कहलाती हैं।

👉पूरक घटनाएँ

यादृच्छिक प्रयोग से सम्बन्धित प्रतिदर्श समध्टि S तथा घटना E है, तब E की पूरक घटना को E^{\prime}, E^{C} या \bar{E} से निरूपित करते हैं। E^{\prime} का तात्पर्य है कि घटना E घटित नहीं होती है। 

👉 परस्पर अपवर्जी घटनाएँ 

किसी प्रतिदर्श समष्टि S की दो घटनाएँ E₁ व E₂ परस्पर अपवर्जी घटनाएँ होगी, यदि E₁ व E₂ साथ-साथ घटित ना हो। अर्थात 

E_{1}\cap E_{2}=\phi

👉सम्पूर्ण घटनाएँ

ऐसी घटनाओं का समुच्चय जिसके बाहर कोई घटना घटित न हो  सम्पूर्ण घटनाएँ कहलाती हैं। 

घटनाओं E₁, E₂, …., E_n के  समुच्चय को  सम्पुर्ण घटनाएँ कह्ते हैं यदि

 E_{1} \cup E_{2} \cup E_{3} \cup \ldots \cup E_{n}=S

👉 परस्पर अपवर्जी तथा सम्पूर्ण घटनाएँ 

वे घटनाएँ जो परस्यर अपवर्जी तथा सम्पूर्ण घटनाएँ दोनों हों, परस्पर अपवर्जी तथा सम्पूर्ण घटनाएँ कहलाती हैं। यदि E₁, E₂, .., E_n घटनाओं का समुच्पय इस प्रकार है कि

E_{1} \cup E_{2} \cup E_{3} \cup \ldots \cup E_{n}=S

तथा

\quad E_{1} \cap E_{2} \cap E_{3} \cap \ldots \cap E_{n}=\phi

हो,

तब, ये घटनाएँ परस्पर अपवर्जी तथा सम्पूर्ण घटनाएँ कहलाती हैं।

प्रायिकता का सूत्र क्या है-formula of probability

प्रायिकता सूत्र को एक घटना की संभावना के रूप में परिभाषित किया गया है जो परिणामों की संख्या और परिणामों की कुल संख्या के अनुपात के बराबर है।

घटना होने की प्रायिकता P (E) = अनुकूल परिणामों की संख्या / परिणामों की कुल संख्या

प्रायिकता के मूल नियम 

यदि A और B दो घटनाएँ हैं, तो;

P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)

P (A \cap B) = P (B) P (A / B)

प्रायिकता के तीन प्रमुख प्रकार हैं:

सैद्धांतिक संभावना/प्रायिकता -Theoretical Probability

प्रायोगिक संभावना/प्रायिकता-Experimental Probability

स्वयंसिद्ध संभावना/प्रायिकता-Axiomatic Probability

एक घटना की प्रायिकता

एक घटना मान लें कि n संभावित तरीकों  में से r बार घटित होती है हैं। तब घटना के घटित होने या उसके सफल होने की प्रायिकता व्यक्त की जाती है;

P(E) = r / n

इस घटना के घटित न होने की प्रायिकता इस रूप में व्यक्त की जाती है

P (E') = (n-r) / n = 1- (r / n)

E’ दर्शाता है कि घटना घटित नहीं होगी।

इसलिए, अब हम कह सकते हैं;

P (E) + P (E') = 1

इसका मतलब यह है कि किसी भी यादृच्छिक परीक्षण या प्रयोग में सभी प्रायिकता का कुल योग 1 के बराबर है।

सप्रतिबन्ध प्रायिकता (Conditional Probability) 

यादृच्छिक प्रयोग से सम्बन्धित घटनाएँ E₁ व E₂ हैं। यदि E₂ घटना पहले ही घटित हो चुकी हो, तब घटना E₁ के घटित होने की प्रायिकता को घटना E₁ के घटित होने की सप्रतिबन्ध प्रायिकता कहते हैं। इसे P\left(\frac{E_{1}}{E_{2}}\right) से निरूपित करते हैं।

P(\frac{E_{1}}{E_{2}})=\frac{P(E_{1} \cap E_{2})}{P(E_{2})}

E_{2} \ne \phi

सम्पूर्ण प्रायिकता का नियम (Law of Total Probability)

माना यादृच्छिक प्रयोग में S एक प्रतिदर्श समष्टि तथा E₁, E₂, .., E_n परस्पर अपवर्जी तथा सम्पूर्ण घटनाएँ हैं। यदि कोई घटना A, E₁ या E₂ या E₃, …या E_n के साथ घटित हो, तब

P(A)=P(E_{1}) P(\frac{A}{E_{1}})+\ldots+P(E_{n}) P(\frac{A}{E_{n}})

प्रायिकता आधारित प्रश्न-probability questions and answers

Q.1 एक बिस्तर में 6 तकिए हैं, 3 लाल हैं, 2 पीले हैं और 1 नीला है। पीला तकिया लेने की प्रायिकता क्या है?

उत्तर: संभावना बिस्तर में पीले तकिए की संख्या के बराबर होती है, जो कुल तकिए की संख्या से विभाजित होती है, अर्थात 2/6 = 1/3

Q.2 दो पासे लुढ़के हैं, इस प्रायिकता को खोजें कि योग है:

1 के बराबर

4 के बराबर

13 से कम है

sol:

1) इस संभावना को खोजने के लिए कि योग 1 के बराबर है, हमें पहले दो पासा के नमूना स्थान S को निर्धारित करना होगा जैसा कि नीचे दिखाया गया है।

S = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6)

(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6)

(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6)

(4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6)

(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6)

(6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}

1) ई घटना “1 के बराबर राशि” होने दें। चूंकि, कोई परिणाम नहीं है जहां एक योग 1 के बराबर है, इसलिए,

P(E) = n(E) / n(S) = 0 / 36 = 0

2) तीन संभावित परिणाम 4 के बराबर राशि देते हैं:

E = {(1,3), (2,2), (3,1)}

इसलिए, `P(E) = (nE) / (nS) = 3/36 = 1/12`

3)  जो 13. से कम राशि देते हैं। 

तो आप देख सकते हैं कि किसी घटना की सीमा तब होती है जब दोनों की मृत्यु संख्या 6, अर्थात् (6,6) हो।

इसलिये,

`P(E) = (nE) / (nS) =  36/36 = 1`

Q. 3  20 हरे और 15 लाल गेंदों को एक बर्तन में रखा जाता है, हरे रंग की गेंद को चुनने की प्रायिकता क्या है?

हल: प्रश्न के अनुसार,

कुल गेंद = 50 + 15

हरे रंग की गेंद चुनने की संभावना

= 20/35

= 4/7

उत्तर: 4/7

Important question on probability in hindi 

probability questions in hindi

1. एक टोकरी में तीन नीली और चार लाल गेंदें हैं । यदि बेतरतीब ढंग से टोकरी से तीन गेंदें निकाली जाएं , तो तीनों के या तो नीले या लाल होने की कितनी संभाव्यता है ? 

1. 1 
2. 1/7 
3. 3/14 
4. 3/28 
5. इनमें से कोई नहीं 

निर्देश ( 2-6 ) : नीचे दिए गए प्रश्नों का उत्तर देने के लिए निम्नलिखित जानकारी का ध्यान से अध्ययन कीजिए । एक कलश में 4 हरी , 5 नीली , 2 लाल और 3 पीली गोलियां हैं । 

2. बेतरतीब 2 गोलियां निकालने पर , दोनों के या कम से कम एक के लाल होने की संभावना क्या हैं 

1. 26/93 
2. 2/7 
3. 199/366 
4. 135/193 
5. इनमें से कोई नहीं 

3. बेतरतीब 3 गोलियां निकालने पर , कम से कम एक पीली होने की संभावना क्या है ? 

1. 1/5 
2. 199/364
3. 135/324 
4. 5/9 
5. इनमें से कोई नहीं 

4. बेतरतीब 8 गोलियां निकालने पर , प्रत्येक रंग की गोलियां समान संख्या में होने की क्या संभावना 

1. 3/8 
2. 351/738 
3. 60/1001 
4. 1/1011  
5. इनमें से कोई नहीं

5. बेतरतीब 3 गोलियां निकालने पर , एक के भी हरी नहीं होने की संभावना क्या है ?

1. 3/8 
2. 273/748  
3. 30/91 
4. 41/91 
5. इनमें से कोई नहीं 

6. बेतरतीब 4 गोलियां निकालने पर , दो नीली और दो लाल होने की संभावना क्या है ? 

• 10/1001  
• 7/17  
• 15/384 
• 3/5 
• इनमें से कोई नहीं 

7. एक बैग में 13 सफेद और 7 काले बॉल हैं । बेतरतीब तरीके से दो बॉल निकाले जाते हैं । इनके एक ही रंग के होने की संभावना क्या है ? 

1. 41/190 
2. 21/190  
3. 59/190 
4. 99/190 
5. 77/190

8. 5 लड़कियों और 3 लड़कों में से 4 बच्चे एक पहेली प्रतियोगिता के लिए बेतरतीब चुने जाने हैं । सभी के लड़की होने की संभावना क्या है ? 

1. 1/14 
2. 1/7 
3. 5/17  
4. 2/17 
5. इनमें से कोई नहीं

9. एक बैग में 7 नीली गेंद और 5 पीली गेंद हैं । यदि बेतरतीब ढंग से दो गेंद चुने जाएं , तो कितनी संभावना है कि कोई पीला नहीं निकलेगा ? 

1. 5/33 
2. 5/22 
3. 7/22 
4. 7/33 
5. 7/66 

10. एक पासा दो बार फेंका जाता है । दो बार फेंके जाने से 7 का योग आने की संभावना कितनी हैं 

• 5/18 
• 1/18  
• 1/9 
• 1/6 
• 5/36 

निर्देश ( 11-13 ) : निम्नलिखित जानकारी का सावधानीपूर्वक अध्ययन कीजिए एवं दिए गए प्रश्नों का उत्तर दीजिए । एक थैले में 6 लाल गेंदें , 4 हरी गेंदें एवं 8 पीली गेंदें हैं ।

11. थैले से यदृच्छया तीन गेंदें निकाली जाती है । क्या प्रायिकता है कि दो गेंदें लाल एवं एक गेंद हरी होगी ? 

1. 5/68 
2. 3/68  
3. 7/68 
4. 9/68  
5. इनमें से कोई नहीं

12. थैले से यदृच्छया एक गेंद निकाली जाती है । क्या प्रायिकता है कि वह गेंद न लाल होगी न हरी होगी ? 

1. 1/3 
2. 4/9
3. 5/9 
4. 2/3 
5. इनमें से कोई नहीं 

13. थैले से यदृच्छया दो गेंदें निकाली जाती हैं । क्या प्रायिकता है कि दोनों गेंदें समान रंग की होंगी ? 

1. 53/153 
2. 48/153 
3. 49/153 
4. 46/153 
5. इनमें से कोई नहीं 

निर्देश ( 14-16 ) : दी गयी जानकारी का सावध नीपूर्वक अध्ययन कीजिए एवं दिए गए प्रश्नों के उत्तर दीजिए । एक थैले में 6 लाल कमीज , 6 हरी कमीज एवं 8 नीली कमीज 

14. थैले में से दो कमीज यदृच्छया निकाली जाती हैं । क्या प्रायिकता है कि अधिक से अधिक एक कमीज लाल रंग की होगी ? 

1. 27/38 
2. 35/38 
3. 30/38 
4. 33/38 
5. 29/38 

15. थैले से एक कमीज यदृच्छया निकाली जाती है एवं इसके बाद एक दूसरी कमीज निकाली जाती है । क्या प्रायिकता है कि पहली कमीज लाल रंग की एवं दूसरी कमीज नीली रंग की होगी ? 

1. 14/95 
2. 22/95 
3. 15/95 
4. 12/95 
5. 18/95 

16. थैले से एक कमीज यदृच्छया निकाली जाती है । क्या प्रायिकता है कि यह हरी नहीं है ? 

1. 7/20 
2. 7/10 
3. 9/10  
4. 3/5  
5. 2/5

यदि आपको इन में से किसी भी सवाल का हल चाइए तो आप कमेंट बॉक्स में उसका question number लिख दे। हम आपको उसका हल उपलब्ध  करवा देंगे। 

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